在本词条中，对集合 A,BA,B 和元素 rr，引入如下运算记号：
- 逐元素加法： r+A:={r+a:a∈A}r+A:=\{r+a:a\in A\}；
- 逐元素乘法： rA:={ra:a∈A}rA:=\{ra:a\in A\}；
- 交叉加法： A+B:={a+b:a∈A,b∈B}A+B:=\{a+b:a\in A,b\in B\}；
- 交叉乘法： AB:={ab:a∈A,b∈B}AB:=\{ab:a\in A,b\in B\}.
例如 Z\mathbf{Z} 表示整数集合，则 mZm\mathbf{Z} 表示 mm 的倍数的集合.
同余类（剩余类） r‾\overline{r}
对非零整数 mm，把全体整数分成 ∣m∣|m| 个两两不交的集合，且同一个集合中的任意两个数模 mm 均同余，我们把这 ∣m∣|m| 个集合均称为模 mm 的 同余类 或 剩余类.
用 r mod mr\bmod m 表示含有整数 rr 的模 mm 的同余类. 在不引起歧义的情况下，可以用 r‾\overline{r} 表示含有整数 rr 的同余类.
不难证明对任意非零整数 mm，上述划分方案一定存在且唯一.
同余类的性质
由同余类的定义可知：
- r mod m={r+km∣k∈Z}r\bmod m=\{r+km\mid k\in\mathbf{Z}\}；
- r mod m=s mod m ⟺ r≡s(modm)r\bmod m=s\bmod m\iff r\equiv s\pmod m；
- 对任意 r,s∈Zr,s\in\mathbf{Z}，要么 r mod m=s mod mr\bmod m=s\bmod m，要么 (r mod m)∩(s mod m)=∅(r\bmod m)\cap (s\bmod m)=\varnothing；
- 若 m1∣mm_1\mid m，则对任意整数 rr 均有 r+mZ⊆r+m1Zr+m\mathbf{Z}\subseteq r+m_1\mathbf{Z}.
注意到同余是等价关系，所以同余类即为同余关系的等价类.
同余类的运算
a‾+b‾=a+b‾,a‾⋅b‾=ab‾\overline{a}+\overline{b}=\overline{a+b} ,\quad\overline{a}\cdot\overline{b}=\overline{ab}
剩余系 Zm\mathbf{Z}_m
我们把模 mm 的同余类全体构成的集合记为 Zm\mathbf{Z}_m，即
Zm={r mod m∣0≤r<m}\mathbf{Z}_m=\{r\bmod m \mid 0\leq r<m\}
或者
Zm={r‾∣0≤r<m}={0‾,1‾,2‾,…,m−1‾}\mathbf{Z}_m=\{\overline{r} \mid 0\leq r<m\} =\{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \ldots , \overline{m-1}\}
有的资料也把模 mm 的同余类全体构成的集合记为 Z/mZ\mathbf{Z}/m\mathbf{Z}.
不难发现：
- 对任意整数 aa，a+Zm=Zma+\mathbf{Z}_m=\mathbf{Z}_m；
- 对任意与 mm 互质的整数 bb，bZm=Zmb\mathbf{Z}_m=\mathbf{Z}_m.
对 mm 个整数 a1,a2,…,ama_1,a_2,\dots,a_m，若对任意的数 xx，有且仅有一个数 aia_i 使得 xx 与 aia_i 模 mm 同余，则称这 mm 个整数 a1,a2,…,ama_1,a_2,\dots,a_m 为模 mm 的 完全剩余系，简称 剩余系.
我们还可以定义模 mm 的：
- 最小非负（完全）剩余系：0,…,m−10,\dots,m-1；
- 最小正（完全）剩余系：1,…,m1,\dots,m；
- 绝对最小（完全）剩余系：−⌊m/2⌋,…,−⌊−m/2⌋−1-\lfloor m/2\rfloor,\dots,-\lfloor -m/2\rfloor-1；
- 最大非正（完全）剩余系：−m+1,…,0-m+1,\dots,0；
- 最大负（完全）剩余系：−m,…,−1-m,\dots,-1.
若无特殊说明，一般我们只用最小非负剩余系.
既约同余类（既约剩余类）
对同余类 r mod mr\bmod m，若 (r,m)=1(r,m)=1，则称该同余类为 既约同余类 或 既约剩余类.
我们把模 mm 既约剩余类的个数记作 φ(m)\varphi(m)，称其为欧拉函数.
既约剩余系 Zm∗\mathbf{Z}_m^*
我们把模 mm 的既约同余类全体构成的集合记为 Zm∗\mathbf{Z}_m^*，即
Zm∗:={r mod m:0≤r<m,(r,m)=1}\mathbf{Z}_m^*:=\{r\bmod m:0\leq r<m,(r,m)=1\}
对于任意的整数 aa 和与 mm 互质的整数 bb，bZm∗=Zm∗b\mathbf{Z}_m^*=\mathbf{Z}_m^*，但是 a+Zm∗a+\mathbf{Z}_m^* 不一定为 Zm∗\mathbf{Z}_m^*. 这一点与 Zm\mathbf{Z}_m 不同.
对 t=φ(m)t=\varphi(m) 个整数 a1,a2,…,ata_1,a_2,\dots,a_t，若 (ai,m)=1, ∀1≤i≤t(a_i,m)=1,~\forall 1\leq i\leq t，且对任意满足 (x,m)=1(x,m)=1 的数 xx，有且仅有一个数 aia_i 使得 xx 与 aia_i 模 mm 同余，则称这 tt 个整数 a1,a2,…,ata_1,a_2,\dots,a_t 为模 mm 的 既约剩余系、缩剩余系 或 简化剩余系.
类似地，我们也可以定义最小非负既约剩余系等概念.
若无特殊说明，一般我们只用最小非负既约剩余系.