费马数是一组以法国数学家皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）命名的自然数，具有特定的数学形式。它们定义为 Fn=22n+1F_n = 2^{2^n} + 1，其中 nn 是一个非负整数。费马数的形式是 22n+12^{2^n} + 1，这意味着指数 2n2^n 本身是一个2的幂。如果 22n+12^{2^n} + 1 是一个素数，那么这个数就被称为费马素数。
已知的费马素数只有 F0F_0 至 F4F_4 这五个，它们分别是：
- F0=220+1=3F_0 = 2^{2^0} + 1 = 3
- F1=221+1=5F_1 = 2^{2^1} + 1 = 5
- F2=222+1=17F_2 = 2^{2^2} + 1 = 17
- F3=223+1=257F_3 = 2^{2^3} + 1 = 257
- F4=224+1=65,537F_4 = 2^{2^4} + 1 = 65,537
费马数之间互素
证明：
因为
Fn−2=22n−1=(22n−1−1)(22n−1+1)=(22n−1−1)Fn−1=(22n−2−1)(22n−2+1)Fn−1=(22n−2−1)Fn−2Fn−1=⋯=F0F1⋯Fn−2Fn−1F_n-2=2^{2^n}-1=\quad(2^{2^{n-1}}-1)\quad(2^{2^{n-1}}+1)=\quad(2^{2^{n-1}}-1)F_{n-1}\quad=\quad(2^{2^{n-2}}-1)\quad(2^{2^{n-2}}+1)F_{n-1}=\quad(2^{2^{n-2}}-1)F_{n-2}F_{n-1}=\cdots=F_0F_1\cdots F_{n-2}F_{n-1}
所以对于任意两个费马数 FmF_m 和 FnF_n (m>nm>n)，有
Fm=2+qFnF_m = 2+qF_n
所以 (Fm,Fn)=(2,Fn)(F_m,F_n)=(2,F_n)，因为费马数都是奇数，所以 (2,Fn)=1(2,F_n)=1，所以任意两个费马数 FmF_m 和 FnF_n 互素.
证明素数是无限的
由于有无穷多个费马数，而每一个费马数的质因子各不相同（否则这两个费马数有共同的质因子，就不互质），故存在无穷多个质数.
费马数的因数为 4k+14k+1 型
设 q∣22n+1q\mid 2^{2^n} + 1，有
22n≡−1(modq)(22n−1)2≡−1(modq)2^{2^n} \equiv -1 \pmod q\\ (2^{2^{n-1}})^2 \equiv -1 \pmod q
所以由二次剩余 (−1q)=1(\frac{-1}{q}) = 1，所以 qq 为 4k+14k+1 型.
费马数的因数为 2n+1k+12^{n+1}k+1 型
设 q∣22n+1q\mid 2^{2^n} + 1，有
22n≡−1(modq)(22n)2≡1(modq)2^{2^n} \equiv -1 \pmod q\\ (2^{2^n})^2 \equiv 1 \pmod q
所以 22 的阶为 2n+12^{n+1}，2n+1∣q−12^{n+1} \mid q-1，q=2n+1k+1q=2^{n+1}k+1.