算术基本定理（唯一分解定理）

算术基本定理（the Fundamental Theorem of Arithmetic）：任何一个大于1的自然数N,如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积.

算术基本引理（欧几里得引理）

设 $p$ 是素数，$p\mid a_1{a}_2$，那么 $p\mid a_1$ 和 $p\mid a_2$ 至少有一个成立。

算术基本定理（唯一分解定理）

设正整数 $a$，那么必有表示：

$$a=p_1{p}_2\cdots p_s$$

其中 $p_j(1\le j\le s)$ 是素数。并且在不计次序的意义下，该表示唯一。

标准素因数分解式

将上述表示中，相同的素数合并，可得：

$$a={p_1}^{{\alpha }_1}{p_2}^{{\alpha }_2}\cdots {p_s}^{{\alpha }_s},p_1<p_2<\cdots <p_s$$

称为正整数 $a$ 的标准素因数分解式。

求所有因子的和

对于一个有质因数分解 $n=p_1^{e_1}\cdot p_2^{e_2}\cdot \dots \cdot p_k^{e_k}$ 的整数，所有因子的和 $S(n)$ 可以通过每个质因数部分的和来计算。具体的公式为：

$$S(n)=(1+p_1+p_1^2+\dots +p_1^{e_1})\cdot (1+p_2+p_2^2+\dots +p_2^{e_2})\cdot \dots \cdot (1+p_k+p_k^2+\dots +p_k^{e_k})$$

假设我们要求 $n=36$ 的所有因子和。

• $36=2^2\cdot 3^2$，所以它的质因数分解是 $p_1=2,e_1=2$ 和 $p_2=3,e_2=2$。
• 对于质因数 2 的部分，因子和为：$1+2+2^2=1+2+4=7$。
• 对于质因数 3 的部分，因子和为：$1+3+3^2=1+3+9=13$。

因此，36 的所有因子和为：

$$S(36)=7\cdot 13=91$$

36 的所有因子是：1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36。

这些因子的和是：91。