设 a,b∈Za,b\in\mathbf{Z}，a≠0a\ne 0。如果 ∃q∈Z\exists q\in\mathbf{Z}，使得 b=aqb=aq，那么就说 bb 可被 aa 整除，记作 a∣ba\mid b；bb 不被 aa 整除记作 a∤ba\nmid b.
例如 15 可以被 5 整除，即 5 整除 15，记作 5∣155 \mid 15.
0 整除任何非零数，例如 0 可以被 5 整除，即 5 整除 0，记作 5∣05 \mid 0.
整除的性质
- 符号无关： a∣b ⟺ −a∣b ⟺ a∣−b ⟺ ∣a∣∣∣b∣a\mid b\iff-a\mid b\iff a\mid-b\iff|a|\mid|b|
- 传递性： a∣b∧b∣c ⟹ a∣ca\mid b\land b\mid c\implies a\mid c
- 结合： a∣b∧a∣c ⟺ ∀x,y∈Z,a∣(xb+yc)a\mid b\land a\mid c\iff\forall x,y\in\mathbf{Z}, a\mid(xb+yc)
- 相等： a∣b∧b∣a ⟹ b=±aa\mid b\land b\mid a\implies b=\pm a
- 倍数： 设 m≠0m\ne0，那么 a∣b ⟺ ma∣mba\mid b\iff ma\mid mb
- 大小： 设 b≠0b\ne0，那么 a∣b ⟹ ∣a∣≤∣b∣a\mid b\implies|a|\le|b|
- 设 a≠0,b=qa+ca\ne0,b=qa+c，那么 a∣b ⟺ a∣ca\mid b\iff a\mid c