千禧年难题

千禧年难题（Millennium Prize Problems）是克雷数学研究所在 2000 年公布的七个重要数学问题. 研究所为每一道问题的合格解答设置 100 万美元奖金，总奖金为 700 万美元.

这七个问题分布在数论、代数几何、拓扑学、偏微分方程、计算复杂性理论和数学物理等领域，因此各问题在知识库中归入自己的数学领域，本词条仅提供总览和链接.

七个问题

1. P 与 NP 问题：容易验证答案的问题是否也容易求解.
2. 霍奇猜想：复射影代数簇中的特定拓扑信息是否可由代数循环表示.
3. 庞加莱猜想：封闭单连通三维流形是否与三维球面同胚.
4. 黎曼猜想：黎曼 ζ 函数的非平凡零点是否都位于实部为 1/2 的直线上.
5. 杨–米尔斯理论的存在性与质量间隙：能否严格构造四维量子杨–米尔斯理论并证明正质量间隙.
6. 纳维–斯托克斯方程的存在性与光滑性：三维不可压缩流体方程的光滑解是否始终存在.
7. 贝赫和斯维讷通–戴尔猜想：椭圆曲线有理点群的秩是否由相应 L 函数在 s=1 处的零点阶数决定.

当前状态

截至 2026 年 9 月，克雷数学研究所将庞加莱猜想列为已解决问题，其余六题仍列为未解决问题. 格里戈里·佩雷尔曼在 2002 年和 2003 年公布的工作证明了几何化猜想，从而解决了庞加莱猜想.

参考资料

• 克雷数学研究所：千禧年难题