阶

由欧拉定理可知，对 $a\in \mathbf{Z}$，$m\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，若 $(a,m)=1$，则 $a^{\phi (m)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$.

因此满足同余式 $a^n\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$ 的最小正整数 $n$ 存在，这个 $n$ 称作 $a$ 模 $m$ 的 阶，记作 ${\delta }_m(a)$ 或 ${\mathrm{ord}}_m(a)$.

阶的性质

• $a,a^2,\cdots ,a^{{\delta }_m(a)}$ 模 $m$ 两两不同余。

• 若 $a^n\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$，则 ${\delta }_m(a)\mid n$. 由欧拉定理 ${\delta }_m(a)\mid \phi (m)$.

• 设 $m\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，$a,b\in \mathbf{Z}$，$(a,m)=(b,m)=1$，则

  $${\delta }_m(ab)={\delta }_m(a){\delta }_m(b)$$

  的充分必要条件是

  $$\left({\delta }_m(a),{\delta }_m(b)\right)=1$$

• 设 $k\in \mathbf{N}$，$m\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，$a\in \mathbf{Z}$，$(a,m)=1$，则

  $${\delta }_m(a^k)=\frac{{\delta }_m(a)}{\left({\delta }_m(a),k\right)}$$