求解二次同余式

求解以下二次同余式：

$$x^2=a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$

$p$ 为 $4k+3$ 型

若 $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，则有解.

$$\begin{gathered} a^{\frac{p+1}{2}}\equiv a \\ (a^{\frac{p+1}{4}}{)}^2\equiv a \end{gathered}$$

方程的解为 $x\equiv \pm a^{\frac{p+1}{4}}$.

$p$ 为 $4k+1$ 型，$a$ 为 $-1$

$$((\frac{p-1}{2})!{)}^2\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$

方程的解为 $x\equiv \pm (\frac{p-1}{2})!$.