抽象代数（近世代数）

抽象代数（Abstract algebra）又称 近世代数（Modern algebra），它产生于十九世纪。抽象代数包含群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数也是现代计算机理论基础之一。

群 group

设 $G$ 是非空集合，其上有二元运算 $\cdot :G\times G\to G$，如果它们满足以下性质，则称 $(G,\cdot )$ 是一个 群（group）：

1. 结合律（associative property）：对于所有 $a,b,c\in G$，成立 $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$；
2. 有单位元：存在 $e\in G$，使得对于任意 $a\in G$，都成立 $a\cdot e=e\cdot a=a$。这里，$e$ 称为 $G$ 的 单位元（identity element），也称幺元；
3. 存在逆元：对于所有 $a\in G$，都存在相应的 $b\in G$ 使得 $a\cdot b=b\cdot a=e$。这里，$b$ 称为 $a$ 的 逆元（inverse element）。

半群

对于非空集合 $G$ 和其上的二元运算 $\cdot$，如果该运算满足结合律，则称 $(G,\cdot )$ 是一个 半群（semigroup）。

幺半群

对于半群 $(G,\cdot )$，如果它还存在单位元，则称 $(G,\cdot )$ 是一个 幺半群（monoid）。

Abel 群 (交换群)

对于群 $(G,\cdot )$，如果运算 $\cdot$ 还满足交换律（commutative property），即对于所有 $a,b\in G$，都成立 $a\cdot b=b\cdot a$，则称 $(G,\cdot )$ 是一个 Abel 群（Abelian group）或 交换群（communicate group）。

环 ring

对于非空集合 $R$ 和其上的两个二元运算 $+:R\times R\to R$ 和 $\cdot :R\times R\to R$，如果它们满足以下性质，则称 $(R,+,\cdot )$ 是一个 环（ring）：

1. $(R,+)$ 构成 Abel 群，其单位元记作 $0$，元素 $a\in R$ 在 $+$ 下的逆元记作 $-a$。
2. $(R,\cdot )$ 构成半群，即 $\cdot$ 满足结合律。
3. 分配律（distributive property）：对于所有 $a,b,c\in R$，成立 $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ 和 $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$。

为表述方便，这两个二元运算 $+$ 和 $\cdot$ 常称作该环的加法和乘法，相应地，加法单位元称作 零元（zero），乘法单位元（如果存在）称作 幺元（identity）。应避免和具体的数集中的加法、乘法，以及自然数零和一产生混淆。

幺环

对于环 $(R,+,\cdot )$，如果它含幺，即存在乘法单位元，记作 $1$，则称 $(R,+,\cdot )$ 是一个 幺环（ring with identity）。

除环

对于非零幺环 $(R,+,\cdot )$，如果对于所有非 $0$ 元素 $a\in R$，都存在乘法逆元（记作 $a^{-1}$），则称 $(R,+,\cdot )$ 是一个 除环（division ring）。

交换环

对于环 $(R,+,\cdot )$，如果它的乘法满足交换律，则称 $(R,+,\cdot )$ 是一个 交换环（commutative ring）。

域 field

域是一个比环性质更强的代数结构。具体地，域是交换除环。

对于非空集合 $F$ 和其上的两个二元运算 $+:F\times F\to F$ 和 $\cdot :F\times F\to F$，如果它们满足以下性质，则称 $(F,+,\cdot )$ 是一个 域（field）：

1. $(F,+)$ 构成 Abel 群，其单位元记作 $0$，元素 $a\in F$ 在 $+$ 下的逆元记作 $-a$。
2. $(F\setminus \{0\},\cdot )$ 构成 Abel 群，其单位元记作 $1$，元素 $a\in F\setminus \{0\}$ 在 $\cdot$ 下的逆元记作 $a^{-1}$。

参考

https://oi-wiki.org/math/algebra/basic/