欧几里得引理

欧几里得引理（Euclid's Lemma） 是数论中的一个重要定理，通常用于证明整数的质因数分解具有唯一性。它的内容如下：

定理内容：
如果一个质数 $p$ 能够整除两个整数的乘积 $a\times b$，即 $p\mid a\times b$，那么 $p$ 必定能整除其中的至少一个因数 $a$ 或 $b$（即 $p\mid a$ 或 $p\mid b$）。

换句话说，欧几里得引理表明，如果一个质数 $p$ 整除两个整数的积，则 $p$ 必定整除这两个整数中的一个。

形式化表述：
若 $p$ 是质数，且 $p\mid a\times b$，那么 $p\mid a$ 或 $p\mid b$。

例子：
设 $p=5$，$a=15$，$b=4$。
我们知道 $p\mid a\times b$，因为 $15\times 4=60$ 而 $5\mid 60$。根据欧几里得引理，$5$ 必定整除 $a=15$ 或 $b=4$。事实上，$5\mid 15$，所以引理成立。

欧几里得引理在证明质数分解的唯一性和其他数论定理中有广泛应用。