庞加莱猜想（Poincaré conjecture）是三维拓扑中的一个定理. 它刻画了三维球面在所有封闭三维流形中的拓扑特征.
猜想内容
一个空间如果其中每条闭合曲线都能在空间内部连续收缩为一点，就称为单连通. 庞加莱猜想断言：每个封闭且单连通的三维流形都与三维球面 S³ 同胚.
二维情况下，球面上的闭合曲线可以收缩，而环面上绕孔的曲线不能收缩. 庞加莱在 1904 年提出相应的三维问题，但三维流形的结构远比这个直观类比复杂.
解决
格里戈里·佩雷尔曼在 2002 年和 2003 年发布的论文中发展了理查德·哈密顿的里奇流方法，证明了瑟斯顿几何化猜想，庞加莱猜想由此得到证明. 克雷数学研究所于 2010 年宣布向佩雷尔曼授予千禧年奖，他拒绝了该奖项.
它是千禧年难题中目前唯一被克雷数学研究所列为已解决的问题.