黎曼猜想（Riemann hypothesis）是解析数论中的核心开放问题. 它通过黎曼 ζ 函数零点的位置，约束素数分布相对于平均规律的波动.
黎曼 ζ 函数
当复数 s 的实部大于 1 时，黎曼 ζ 函数可以写成
ζ(s)=∑n=1∞1ns.\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}.
解析延拓把它扩展到除 s=1 外的复平面. ζ 函数在负偶数处的零点称为平凡零点；其他零点位于 0 < Re(s) < 1 的临界带内.
猜想内容
黎曼猜想断言，ζ 函数的每个非平凡零点都满足
Re(s)=12.\operatorname{Re}(s)=\frac{1}{2}.
ζ 函数具有由全部素数构成的欧拉乘积，因此它的解析性质与素数分布紧密相连. 猜想若成立，将给出素数计数误差的强约束；它并不表示素数会按固定间隔或周期出现.
黎曼猜想由伯恩哈德·黎曼在 1859 年提出，也是千禧年难题之一. 截至 2026 年 9 月，克雷数学研究所仍将其列为未解决问题.